ELIPSE

Superficie Cónica Elipse

Elipses son las curvas planas resultantes de cortar la superficie cónica con planos que seccionan todas sus generatríces.

ELIPSE
Elipse
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Lugar Geométrico de la Elipse

La Elipse, es el lugar geométrico formado por todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos fijos, llamados focos, es constante.
Podemos señalar los siguientes elementos de la elipse:
- La distancia focal, o distancia entre ambos focos, que se designa con 2c, siendo c la distancia de cada foco al centro de la elipse.
- El eje mayor, que pasa por los focos. Su longitud es 2a, y sus extremos son dos puntos llamados vértices de la elipse.
- El eje menor, perpendicular al eje mayor. Su longitud es 2b, y sus extremos son dos puntos, que también son vértices de la elipse.
- Excentricidad de la elipse, es la razón entre a y c, es decir, e= a/c
Como c es menor que a, la excentricidad de la elipse satisface que: 0<e<1
Una elipse muy alargada (con los focos muy separados) se dice que es muy excéntrica, y poco excéntrica cuando los focos están muy juntos.
Cuando los focos se confunden con el centro, c=0, y por tanto, e=0, siendo entonces la elipse una circunferencia.
La elipse es simétrica respecto de ambos ejes.

 

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Ecuación de la Elipse

Una elipse de centro O(0,0) y vértices A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) y B’(0,-b) tiene una ecuación, llamada canónica, cuya expresión es:

x2/a2 + y2/b2 = 1

Como se puede comprobar, no es una ecuación funcional pués por cada punto de abcisa x equivalen dos de las ordenadas y. También podemos ver que si a=b la ecuación se convierte en la de una circunferencia.

 

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Aplicaciones Prácticas

Propiedad Optica

Consideremos un espejo que tenga forma de elipse. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará hacia el otro foco.

La propiedad óptica de la elipse se aplica en las ``galerías de murmullos'' como la que se encuentra en el Convento del Desierto de los Leones, cerca de la Ciudad de México, en la cual un orador colocado en un foco puede ser escuchado cuando murmura por un receptor que se encuentre en el otro foco, aún cuando su voz sea inaudible para otras personas del salón.Otra aplicación de la propiedad óptica de la elipse es la de ciertos hornos construidos en forma de elipsoides. Si en uno de sus focos se coloca la fuente de calor y en el otro se coloca el material que se quiere calentar, todo el calor emanado por la fuente de calor se concetrará en el otro foco.

Otra aplicación de la propiedad óptica de la elipse es la de ciertos hornos construidos en forma de elipsoides. Si en uno de sus focos se coloca la fuente de calor y en el otro se coloca el material que se quiere calentar, todo el calor emanado por la fuente de calor se concetrará en el otro foco.

Lewis Carroll, el matemático autor de Alicia en el País de las Maravillas, se construyó una mesa de billar de forma elíptica. En ella si una bola pasa por un foco, sin efecto, pasará necesariamente por el otro foco después de rebotar. Y así sucesivamente, hasta que se pare.

Astronomía

Una de las principales aplicaciones de la elipse se da en la astronomía. Johannes Kepler, estudiando los movimientos de Marte, al aplicar el modelo de Copérnico de órbitas circulares alrededor del sol, vio que los cálculos discrepaban ligeramente de la posición real del planeta en el firmamento. Así que intentó ajustar la órbita a otras curvas y finalmente encontró que la elipse se ajustaba maravillosamente a ella. Así encontró su primera ley del movimiento de los planetas. En realidad Kepler tuvo una suerte enorme, ya que Marte era el planeta conocido entonces cuya órbita era más excéntrica. Si en lugar de Marte hubiera decidido estudiar a Venus, cuya órbita es prácticamente circular, posiblemente nunca hubiera descubierto sus leyes del movimiento.

Las tres leyes sobre el movimiento planetario de Kepler son:

  • Los planetas se mueven en órbitas elípticas, uno de cuyos focos es el Sol.
  • Los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales. Es decir, en la figura , si el tiempo que tarda el planeta en ir de A a B es igual que el que tarda en ir de C a D, entonces el área OAB es igual al área OCD.
  • El cuadrado del período de un planeta (el tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor del sol) es proporcional al cubo de su distancia media (la longitud del semieje mayor de la elipse) al sol.

Kepler encontró sus leyes empíricamente, pero fue Newton, utilizando el Cálculo Diferencial que acababa de inventar, y su modelo de gravitación universal, quien probó dichas leyes.

 

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