Curva Cónica Hipérbola
Las Hipérbolas son las curvas planas obtenidas al cortar la superficie cónica con un plano que es paralelo a dos rectas generatrices.
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| Hipérbola |
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Lugar Geométrico de la Hipérbola
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Ecuación de la Hipérbola
Una hipérbola de centro O(0,0) y vértices A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) y B’(0,-b) tiene una ecuación, llamada canónica, cuya expresión es:
x2/a2 - y2/b2 = 1
Las funciones cuya ecuación es de la forma
y = k/x reciben el nombre de funciones de proporcionalidad inversa
y sus gráficas son hipérbolas, cuyas ramas se van acercando
a los ejes de coordenadas conforme aumenta el valor absoluto de la variable
x. Por eso se dice que los ejes de coordenadas son asíntotas
de la función.
Una hipérbola consta de dos curvas, llamadas ramas de la hipérbola,
de manera que sus puntos son simétricos con respecto a dos rectas concurrentes,
llamadas ejes de simetría de la hipérbola. Estos ejes de simetría
se cortan perpendicularmente en el origen de coordenadas.
Debido a que es una función se puede representar en los
ejes cartesianos. Con la siguiente tabla de valores obtendremos los puntos
para representarlas.
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Aplicaciones Prácticas de la Hipérbola
Propiedad Optica
Consideremos un espejo que tenga forma de hipérbola. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará alejandose directamente del otro foco.
Las propiedades ópticas de la parábola y de la hipérbola se combinan en el diseño del telescopio reflector (figura xxx) Los rayos paralelos de una estrella se enfocan finalmente en el ocular colocado en F¢.
Telescopio Reflector
Sistema de navegación LORAN
La propiedad de la definición de la hipérbola: la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante, se utiliza en la navegación.En el sistema de navegación LORAN, una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales, En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la difeerencia entre las dos distancias será también constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en la intersección de las dos hipérbolas correspondientes.
Trayectorias de cometas.
Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.
El reloj de sol
Cada día el Sol, desde que sale por el Este y se pone
por el Oeste, describe sobre el cielo un arco de circunferencia. Este movimiento
es aparente, porque, en realidad, es consecuencia del movimiento diario de
rotación de la Tierra.
Desde hace mucho tiempo se sabe que, cuando el Sol recorre el cielo a lo largo
de un día, la sombra que proyecta un objeto fijo describe una curva
cónica. Esto se puede comprobar experimentalmente si se va marcando,
por ejemplo, cada media hora, sobre una superficie plana el límite
de la sombra que proyecta un objeto cualquiera.
Los relojes de sol se fundamente en este hecho. Están provistos de
un marcador o estilete, llamado gnomon, que proyecta su sombra sobre una superficie
plana donde están señalizadas las horas. El extremo de la sombra
indica la hora solar correspondiente.
El sol, por lo lejano que está, se considera como un foco puntual de
luz. La línea imaginaria que le une con el extremo del gnomon recorre
a lo largo del día parte de la superficie de un cono, también
imaginario. La superficie de este cono se corta por el plano del reloj donde
se obseva la sombra del extremo del gnomon. Por eso, la trayectoria que sigue
esa sombra es la de una cónica.
En las latitudes de la Península Ibérica (de 38º a 42º)
esa cónica es siempre una hipérbola, tanto más curvada
cuanto más próximo esté el día 21 de Junio (solsticio
de verano) o al 21 de Diciembre (solsticio de invierno).
En dos días del año, la trayectoria de la sombra que proyecta
el gnomon es una recta en todos los lugares de la Tierra. Esto ocurre en los
días 21 de marzo (equinoccio de primavera) y 23 de septiembre (equinoccio
de otoño). La razón es que , en esos días, la trayectoria
del Sol y el extremo del gnomon están en un mismo plano que corta al
plano de observación en una recta.
